Алексей Говоров родился в Санкт-Петербурге, в семье музыкантов. Закончил с отличием музыкальную школу имени Е. А. Мравинского, был отмечен премией Ю. Жорно как лучший ученик этого учебного учреждения. С 2005 по 2009 год обучался в Санкт-Петербургском музыкальном колледже имени Н. А. Римского-Корсакова в классе преподавателей К. В. Кучерова (виолончель) и Д. В. Соколова (квартет). Затем продолжил образование в Санкт-Петербургской консерватории им. Римского-Корсакова у А. З. Массарского (виолончель), Н. А. Арзумановой (камерный ансамбль), И. И. Левинзона (квартет).
Являлся участником МолОт-ансамбля (коллектив молодежного отделения союза композиторов) и постоянным исполнителем в рамках фестивалей Сергея Осколкова, «От авангарда до наших дней», «Звуковые пути», «Петербургская весна», «Время музыки. Fin de Siecle», «МолОт-фестиваль», «Земля детей», «Оперетта в Каунасском замке».
Алексей Говоров – лауреат и дипломант различных конкурсов, в том числе Международного конкурса им. Баха (Лондон), Международного конкурса им. Юдиной (Санкт-Петербург; 2011, 2012). В составе квартета «In Corpore» стал лауреатом I международного конкурса имени Овчарека в 2012 г.
Участвовал в программах мастер-классов в рамках Вагнеровского фестиваля (Байройт, 2008, 2009), в Баварской музыкальной академии, выступал на мастер-классах камерных ансамблей в г. Вайкерсхайм (Германия), организованных Jeunesses Musicales International.
В 2011 Алексей Говоров отобран в основной состав Молодежного оркестра Густава Малера, в 2015 – в многонациональный симфонический оркестр, собранный под эгидой мирного сосуществования народов (проект Young Euro Classics).
С 2017 по 2021 — солист РНМСО. С 2021 — солист оркестра Большого театра России.